Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur

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Message  Ulysse92 le Sam 30 Déc 2017 - 17:07

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Vauvyr37
1/2 octaèdre régulier

Si on veut construire des polyèdres en bois il faut régler l'angle de coupe avec la scie radiale pour créer la bonne inclinaison.
Et pour cela il faut faire un peu de géométrie.


  • tétraèdre régulier : 4 triangles équilatéraux Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Tetrae10

  • cube ou hexaèdre : 6 carrés Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Cube10

  • octaèdre régulier : 8 triangles équilatéraux Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Octaed10

  • dodécaèdre (régulier) : 12 pentagones réguliers Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Dodeca10

  • icosaèdre (régulier) : 20 triangles équilatéraux Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Icosae10


Voir site : https://www.mathcurve.com/polyedres/regulier/regulier.shtml
d'après ce site l'angle dièdre vaut : Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Imagel10

Mais comment trouver l'angle soi-même...
Et puis l'angle du dièdre n'est pas l'angle de coupe!

l'angle de coupe est le complément à 90° de la moitié de l'angle dièdre

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tétraèdre régulier
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Tetrae10
D'abord se rappeler que la hauteur d'un triangle équilatéral vaut le côté a multiplié par racine(3)/2 donc 0.866a
On cherche donc l'angle du dièdre au sommet d'un triangle isocèle de côté 0.866a et la base vaut a

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_010

la moitié de cet angle dièdre est l'angle d'un triangle rectangle de côté a/2
le sinus de la moitié de cet angle dièdre vaut donc (a/2)/(a*racine(3)/2) c'est à dire 1/racine(3)
donc  la moitié de cet angle dièdre vaut arcsin(1/racine(3)) soit 35°264


Angle de coupe du tétraèdre régulier = 54°736
(Mais c'est impossible à couper car une scie radiale ne s'incline que de 45° au plus!...

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Cube ou Hexaèdre
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Cube10
là c'est facile! le dièdre vaut 90°
angle de coupe du cube : 45°

C'est donc possible de le couper à la scie radiale.
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octaèdre régulier
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Octaed10
On voit que les hauteurs des 2 triangles équilatéraux s'abaissent par symétrie à la moitié du côté
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_011
donc le cosinus de la moitié de l'angle dièdre vaut (a/2)/(a*racine(3)/2) c'est à dire 1/racine(3)
donc  la moitié de cet angle dièdre vaut arccos(1/racine(3)) soit 54°736

Angle de coupe de l'octaèdre régulier = 35°264

Encore plus facile à couper avec la scie radiale

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dodécaèdre (régulier)
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Dodeca10
12 pentagones!
Alors il faut regarder le pentagone

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_012

et ensuite quand on assemble 4 pentagones on fabrique une sorte de carré de côté 1.618a (nombre d'or)
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_013

donc le demi-dièdre vaut 58°,29 (nota pour vérifier wiki dit que le dièdre vaut 116°33'54")

l'angle de coupe du dodécaèdre régulier vaut 31°714

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isocaèdre (régulier)
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Icosae10

l'assemblage de 5 triangles forme un pentagone

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_014

le demi-dièdre vaut 69°09

l'angle de coupe de l'isocaèdre  régulier vaut 20°93 soit presque 21°

et si on coupe un peu plus les côtés seront jointifs devant et laisseront de la place pour la colle derrière...

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Mais pourquoi tous ces calculs? Parce que je veux construire un icosidodécaèdre

icosidodécaèdre : 12 pentagones et 20 triangles


Et là il faut un angle de coupe pour le triangle et un pour le pentagone

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Vauvyr36
On ne peut pas diviser l'angle du dièdre en deux pour trouver le complément de l'angle de coupe!



Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Vauvyr38
En le regardant bien on s'aperçoit qu'on peut le couper en deux et cela dessine une rotonde décagonale
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_015
La coupe passe par le centre.
A cause de la symétrie le centre du pentagone et le centre du triangle équilatéral visent le centre avec un angle droit.
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_016

la hauteur du centre du triangle est simple : Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_017

Quant à celle du pentagone c'est un peu plus compliqué : Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Scan_018

Le sinus des angles de coupe = H /D

Pentagone : le sinus vaut 0.688a/1.539a = 0.447
l'angle de coupe du pentagone de  l'icosidodécaèdre vaut 26°554 soit presque 27°

Triangle équilatéral : le sinus vaut 0.288a/1.539a = 0.187
l'angle de coupe du triangle de  l'icosidodécaèdre vaut 10°785 soit presque 11°

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Vauvyr41

Ensuite pour savoir dans quelles planches tailler les pentagones il faut connaitre la hauteur du pentagone 1,539 a
à comparer avec la hauteur du triangle équilatéral 0,866a
Avec les chutes des placards de soupente : https://jardindesprit.forumgratuit.org/t1680-habillage-de-soupente-avec-des-placards-sur-mesure
j'ai réalisé un cube et un demi-octaèdre et un demi-icosidodécaèdre
et avec quelques chutes de découpe de la terrasse : https://jardindesprit.forumgratuit.org/t1688-la-nouvelle-baie-vitree-nous-impose-de-creer-une-terrasse-en-bois-composite
j'ai fait un peu d'architecture...

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Vauvyr40
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Vauvyr39

Mais même en faisant très attention avec la scie radiale on coupe à 1 mm près et cela ne suffit pas pour ajuster correctement tous les morceaux...

On peut aussi aller consulter le site : http://www.mathcurve.com/polyedres/icosidodecaedre/icosidodecaedre.shtml
mais il ne donne pas les angles de coupe!

Il fournit de très belles photos :

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Dscn0010
http://www.mathcurve.com/polyedres/icosidodecaedre/icosidodecaedre.shtml
Ballon à tressage icosidodécaèdrique servant dans un jeu traditionnel aux Philippines


Dernière édition par Ulysse92 le Mar 2 Jan 2018 - 12:11, édité 1 fois
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Message  Ulysse92 le Mar 2 Jan 2018 - 11:47

Je ne suis pas le seul à aimer les polyèdres...

Il y a un très beau blog sur le polyèdre dans la peinture : http://enigm-art.blogspot.fr/2012/11/le-polyedre-dans-la-peinture.html

Léonard de Vinci

Et un autre : http://compagnonnage.info/blog/blogs/blog1.php/2008/05/01/l-ascension-des-polyedres-en-pierre

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Lucapa10
http://compagnonnage.info/blog/blogs/blog1.php/2008/05/01/l-ascension-des-polyedres-en-pierre
Luca Pacioli faisant la démonstration d'un théorème d'Euclide (tableau de 1495 attribué à Jacopo de Barbari).

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Uccell10
http://compagnonnage.info/blog/blogs/blog1.php/2008/05/01/l-ascension-des-polyedres-en-pierre
Mosaïque de marbre par Paolo Uccello (1397-1475) à la basilique Saint-Marc de Venise

Et puis encore :

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Artfic10
https://puzzles-et-casse-tete.blog4ever.com/pocoloco
un casse-tête avec le plan de construction  I love you


Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Palais10
http://www.acbx41.com/article-35116283.html
'Le Bois, du coeur à l'ouvrage' au palais de la Découverte


Les cinq corps de Platon :
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Hirsch10
https://www.mathsisfun.com/geometry/polyhedra-images.html
Gravure d'Augustin Herschvogel (1503-1553)

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Icosab10
https://www.mathcurve.com/polyedres/icosaedre/icosaedre.shtml
Icosaèdre à la "Léonard de Vinci" réalisé par Patrice Gaumeton, ébéniste à Paris.



Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Trunca10
http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/?q=poly%C3%A8dres
http://www.ict.griffith.edu.au/anthony/graphics/polyhedra/


Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur 22581810
hhttp://lesateliersdelavesnois.fr/ateliers_artistes_avesnois_gagneux.htm
Roland Gagneux ; Pentaki dodécaèdre adouci 140 faces triangle

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Breton10
http://www.imgrum.org/media/1404515810453991226_299650645
Octaèdre étoilé : tombe d'André Breton


Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Dome-g10
http://habitat-bulles.com/sebastien-baldini/
Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Dome-g11

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Dome-g12


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Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Empty Et si on les créait en virtuel...

Message  Ulysse92 le Ven 5 Jan 2018 - 19:38

Voilà des créations étonnantes de TaffGoch:

Suivez les liens pour avoir plus d'explications

Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Rotegr10
https://taffgoch.deviantart.com/art/Rotegrity-Woodwork-201870495
Ce n'est qu'un dessin virtuel... mais habilement traité pour donner plus de profondeur!


Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur Rotegr12
Cela coûterait cher à réaliser en impression 3D.
animation flash : https://taffgoch.deviantart.com/art/62-Gears-Render-Flash-Anim-252683466

TaffGoch dit qu'il a été inspiré par bugman : https://bugman123.deviantart.com/art/242-Gear-Sphere-261164254

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