Construire des polyèdres en bois donc d'une certaine épaisseur

Si on veut construire des polyèdres en bois il faut régler l'angle de coupe avec la scie radiale pour créer la bonne inclinaison.
Et pour cela il faut faire un peu de géométrie.

• tétraèdre régulier : 4 triangles équilatéraux
  
  
• cube ou hexaèdre : 6 carrés
  
  
• octaèdre régulier : 8 triangles équilatéraux
  
  
• dodécaèdre (régulier) : 12 pentagones réguliers
  
  
• icosaèdre (régulier) : 20 triangles équilatéraux
  
  

Voir site : https://www.mathcurve.com/polyedres/regulier/regulier.shtml
d'après ce site l'angle dièdre vaut :

Mais comment trouver l'angle soi-même...
Et puis l'angle du dièdre n'est pas l'angle de coupe!


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tétraèdre régulier
D'abord se rappeler que la hauteur d'un triangle équilatéral vaut le côté a multiplié par racine(3)/2 donc 0.866a
On cherche donc l'angle du dièdre au sommet d'un triangle isocèle de côté 0.866a et la base vaut a


la moitié de cet angle dièdre est l'angle d'un triangle rectangle de côté a/2
le sinus de la moitié de cet angle dièdre vaut donc (a/2)/(a*racine(3)/2) c'est à dire 1/racine(3)
donc  la moitié de cet angle dièdre vaut arcsin(1/racine(3)) soit 35°264


Angle de coupe du tétraèdre régulier = 54°736
(Mais c'est impossible à couper car une scie radiale ne s'incline que de 45° au plus!...

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Cube ou Hexaèdre
là c'est facile! le dièdre vaut 90°
angle de coupe du cube : 45°

C'est donc possible de le couper à la scie radiale.
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octaèdre régulier
On voit que les hauteurs des 2 triangles équilatéraux s'abaissent par symétrie à la moitié du côté
donc le cosinus de la moitié de l'angle dièdre vaut (a/2)/(a*racine(3)/2) c'est à dire 1/racine(3)
donc  la moitié de cet angle dièdre vaut arccos(1/racine(3)) soit 54°736

Angle de coupe de l'octaèdre régulier = 35°264

Encore plus facile à couper avec la scie radiale

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dodécaèdre (régulier)
12 pentagones!
Alors il faut regarder le pentagone


et ensuite quand on assemble 4 pentagones on fabrique une sorte de carré de côté 1.618a (nombre d'or)

donc le demi-dièdre vaut 58°,29 (nota pour vérifier wiki dit que le dièdre vaut 116°33'54")

l'angle de coupe du dodécaèdre régulier vaut 31°714

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isocaèdre (régulier)

l'assemblage de 5 triangles forme un pentagone


le demi-dièdre vaut 69°09

l'angle de coupe de l'isocaèdre  régulier vaut 20°93 soit presque 21°

et si on coupe un peu plus les côtés seront jointifs devant et laisseront de la place pour la colle derrière...

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Mais pourquoi tous ces calculs? Parce que je veux construire un icosidodécaèdre

icosidodécaèdre : 12 pentagones et 20 triangles


Et là il faut un angle de coupe pour le triangle et un pour le pentagone




En le regardant bien on s'aperçoit qu'on peut le couper en deux et cela dessine une rotonde décagonale
La coupe passe par le centre.
A cause de la symétrie le centre du pentagone et le centre du triangle équilatéral visent le centre avec un angle droit.

la hauteur du centre du triangle est simple :

Quant à celle du pentagone c'est un peu plus compliqué :

Le sinus des angles de coupe = H /D

Pentagone : le sinus vaut 0.688a/1.539a = 0.447
l'angle de coupe du pentagone de  l'icosidodécaèdre vaut 26°554 soit presque 27°

Triangle équilatéral : le sinus vaut 0.288a/1.539a = 0.187
l'angle de coupe du triangle de  l'icosidodécaèdre vaut 10°785 soit presque 11°


Ensuite pour savoir dans quelles planches tailler les pentagones il faut connaitre la hauteur du pentagone 1,539 a
à comparer avec la hauteur du triangle équilatéral 0,866a
Avec les chutes des placards de soupente : https://jardindesprit.forumgratuit.org/t1680-habillage-de-soupente-avec-des-placards-sur-mesure
j'ai réalisé un cube et un demi-octaèdre et un demi-icosidodécaèdre
et avec quelques chutes de découpe de la terrasse : https://jardindesprit.forumgratuit.org/t1688-la-nouvelle-baie-vitree-nous-impose-de-creer-une-terrasse-en-bois-composite
j'ai fait un peu d'architecture...



Mais même en faisant très attention avec la scie radiale on coupe à 1 mm près et cela ne suffit pas pour ajuster correctement tous les morceaux...

On peut aussi aller consulter le site : http://www.mathcurve.com/polyedres/icosidodecaedre/icosidodecaedre.shtml
mais il ne donne pas les angles de coupe!

Il fournit de très belles photos :

Je ne suis pas le seul à aimer les polyèdres...

Il y a un très beau blog sur le polyèdre dans la peinture : http://enigm-art.blogspot.fr/2012/11/le-polyedre-dans-la-peinture.html

Léonard de Vinci

Et un autre : http://compagnonnage.info/blog/blogs/blog1.php/2008/05/01/l-ascension-des-polyedres-en-pierre


http://compagnonnage.info/blog/blogs/blog1.php/2008/05/01/l-ascension-des-polyedres-en-pierre
Luca Pacioli faisant la démonstration d'un théorème d'Euclide (tableau de 1495 attribué à Jacopo de Barbari).


Et puis encore :


https://puzzles-et-casse-tete.blog4ever.com/pocoloco
un casse-tête avec le plan de construction  




Les cinq corps de Platon :

https://www.mathsisfun.com/geometry/polyhedra-images.html
Gravure d'Augustin Herschvogel (1503-1553)





http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/?q=poly%C3%A8dres
http://www.ict.griffith.edu.au/anthony/graphics/polyhedra/





http://habitat-bulles.com/sebastien-baldini/

Voilà des créations étonnantes de TaffGoch:

Suivez les liens pour avoir plus d'explications


https://taffgoch.deviantart.com/art/Rotegrity-Woodwork-201870495
Ce n'est qu'un dessin virtuel... mais habilement traité pour donner plus de profondeur!



TaffGoch dit qu'il a été inspiré par bugman : https://bugman123.deviantart.com/art/242-Gear-Sphere-261164254